京大「通過領域」はこう攻略する｜1984年理系第3問を解く3つの解法

1984年の京都大学・理系数学第3問は、動く直線と線分が通過する範囲を求める通過領域の問題です。本記事では、\(x\) を固定して2次関数の値の範囲を調べる本解を中心に、直線と線分で条件がどう変わるか、相加相乗平均や放物線の接線を使う別解、面積の検算のしかたを、京大や難関大・医学部をめざす受験生向けにわかりやすく解説します。通過領域で使える解法の選び方まで整理しました。

1984年の京大理系数学・第3問はどんな問題？

まずは問題を正確に確認します。京都大学・理系数学で過去に出題された、通過領域（軌跡と領域）の標準的な良問です。

通過領域の問題で最初に確認したいこと

通過領域は「パラメータ \(t\) が動くと、図形（ここでは直線や線分）が平面のどこを塗りつぶすか」を問う問題です。いきなり \(\mathrm{P}\) と \(\mathrm{Q}\) の座標を追いかけるより、直線を一つの式にまとめてしまうほうが、構造がはっきり見えます。

通る点と傾きを先に求めておきましょう。\(\mathrm{P}\) と \(\mathrm{Q}\) の中点は \(\mathrm{M}_t=(t,\ 0)\)、傾きは \(t\) です。したがって直線 \(\mathrm{PQ}\) は次のようにまとまります。

\[ L_t:\quad y=t(x-t)=tx-t^2 \]

また、線分上の点は、中点から方向ベクトル \((1,\ t)\) に沿って \(u(1,\ t)\) だけ進んだ点として \((x,y)=(t+u,\ tu)\) と書け、両端点は \(u=\pm 1\) に対応します。

この一本の式と、線分のときに加わる条件が、以降のすべての解法の出発点になります。

通過領域の問題はどこに注目して解法を選ぶ？

本問は解法が驚くほど豊富ですが、やみくもに手を動かす前に、注目すべき4つの着眼点を押さえると、自分に合ったアプローチを選べます。

1. 端点ではなく、通る点と傾きで式にする。 本問では中点 \(\mathrm{M}_t=(t,0)\) を通り傾き \(t\) だから \(L_t:y=tx-t^2\)。式が一本になると、以降の見通しが一気によくなります。
2. 「直線」か「線分」かで条件が変わる。 (1)は \(u\) に制約がなく、(2)は \(0\leqq t\leqq1\) と \(-1\leqq u\leqq1\) の二つの条件が付きます。この区別が最初の分岐点です。
3. \(t\) について平方完成すると放物線が現れる。 \(y=tx-t^2\) を \(t\) について平方完成すると、\(x\) を固定したときの \(y\) の最大値が、ある放物線の式で表せます。この放物線が通過範囲の境界の候補になります。
4. 直線が接する曲線と、接点の位置を調べる。 この直線は動きながら一つの放物線に接し、接点は \(\mathrm{T}_t=(2t,\ t^2)\) と表せます。\(0\leqq t\leqq1\) では \(t-1\leqq 2t\leqq t+1\) なので接点は線分上にあり、これが(2)の境界の形を左右します。

この4点から、本問には大きく3つの入口があります。(A) 直線の式を、\(x\) を固定して調べる、(B) 線分内の点を「和と積」\((t+u,\ tu)\) とみる、(C) 端点の運動を追うです。高校数学の試験場で最も安全なのは(A)で、特に \(x\) を固定して \(t\) の2次関数の値の範囲を調べる方法が王道になります。計算を短くしたいときは \(y\) を固定して相加相乗平均を使い、図形で見通したいときは放物線の接線として捉えます。

【本解】x を固定し2次関数の値域で通過範囲を求める

最も再現性が高く、答案として安全に書き切れる本解です。発想は「\(x\) を一つ固定し、そのとき \(y\) が動く範囲を調べる」こと。これだけで(1)も(2)も必要十分に処理できます。

解法のポイント（STEP）

1. 直線の方程式 \(y=tx-t^2\) を出し、(1)は \(t\) の2次関数の値の範囲を求める。
2. (2)は \(0\leqq t\leqq1\) に線分条件 \(|x-t|\leqq1\) を加える。
3. \(x\) ごとに \(t\) の動く範囲を決め、\(f_x(t)=xt-t^2\) の最大・最小を求める。
4. 連続性で領域内部が埋まることを保証し、積分して面積を求める。

模範解答（(1) 直線PQの通過範囲）

\(x\) を固定して平方完成すると、

\[ y=tx-t^2=\dfrac{x^2}{4}-\left(t-\dfrac{x}{2}\right)^2 \]

\(t\) は任意の実数を動くので、\(\left(t-\dfrac{x}{2}\right)^2\) は \(0\) 以上のすべての値をとり、\(y\) は \(\dfrac{x^2}{4}\) 以下のすべての値をとります。よって求める範囲は

\[ \boxed{\,y\leqq \dfrac{x^2}{4}\,}\qquad(\text{放物線 }y=\dfrac{x^2}{4}\text{ とその下側。境界を含む}) \]

です（図1）。直線 \(L_t\) は放物線 \(y=\dfrac{x^2}{4}\) に接しながら動き、その接点をなぞるように下側全体を通過します。

模範解答（(2) 線分PQの通過範囲の面積）

線分上の点は \((x,y)=(t+u,\ tu)\)、\(0\leqq t\leqq1\)、\(-1\leqq u\leqq1\) と表せます。\(u=x-t\) なので \(y=xt-t^2\) です。\(x\) を固定すると、\(t\) は \(0\leqq t\leqq1\) と \(x-1\leqq t\leqq x+1\) の両方を満たす範囲、すなわち

\[ \max(0,\ x-1)\ \leqq\ t\ \leqq\ \min(1,\ x+1) \]

を動きます（\(\max\) は大きいほう、\(\min\) は小さいほうを表します）。この範囲が存在するのは \(-1\leqq x\leqq2\) のときに限ります。\(f_x(t)=xt-t^2\) は軸が \(t=\dfrac{x}{2}\) の上に凸な2次関数なので、各 \(x\) での最小値・最大値は次の表のとおりです。

\(x\leqq0\) では \(f_x\) がその範囲で減少し、\(0\leqq x\leqq2\) では軸 \(t=\dfrac{x}{2}\) がその範囲に入って最大値 \(\dfrac{x^2}{4}\) を与えます。\(t\) の動く範囲は切れ目のない区間で \(f_x\) は連続なので、各行の最小値から最大値までをすべてとります。したがって通過範囲は

\[ \begin{aligned}
&-1\leqq x\leqq0 \ \text{では}\ -x-1\leqq y\leqq 0,\\
&\ \ 0\leqq x\leqq2 \ \text{では}\ \ x-1\leqq y\leqq \dfrac{x^2}{4}.
\end{aligned} \]

重要な点を \(\mathrm{A}(-1,0),\ \mathrm{B}(0,0),\ \mathrm{C}(2,1),\ \mathrm{D}(0,-1),\ \mathrm{E}(1,0)\) とおくと、外周は \(\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}\) で、\(\mathrm{BC}\) だけが放物線の弧です。

よって面積 \(S\) は、\(x\) について積分して

\[ \begin{aligned}
S&=\int_{-1}^{0}(x+1)\,dx+\int_{0}^{2}\left(\dfrac{x^2}{4}-x+1\right)dx\\
&=\dfrac12+\dfrac14\int_0^2(x-2)^2\,dx=\dfrac12+\dfrac23=\boxed{\dfrac{7}{6}}.
\end{aligned} \]

右側の被積分関数は \(\dfrac{x^2}{4}-x+1=\dfrac{(x-2)^2}{4}\) とまとめると計算が速くなります。

この面積は、分け方を変えても同じ \(\dfrac{7}{6}\) になります。\(x\) で積分すれば \(\dfrac12+\dfrac23\)、\(y\) で積分すれば（\(y=0\) で上下に分けて）\(1+\dfrac16\) です。両方で一致することが、そのまま検算になります。

論述・計算のコツ

• 「直線上」なら \(y=tx-t^2\) だけでよいですが、「線分上」では必ず \(|x-t|\leqq1\) が加わります。この一行を落とすと、(1)と同じ放物線の下側を誤って使ってしまいます。
• 場合分けの境目は、\(t\) の動く範囲が切り替わる \(x=0,\ 1\) に従います。表にまとめると記述が短くなります。
• 上下の境界を求めただけで終えないこと。\(t\) の動く範囲が区間で \(f_x\) が連続だから「その間もすべて実現する」と一言添えて、必要十分であることを示します。

試験場での検算ポイント

相加相乗平均を使う別解で計算を短くできる？

本解では \(x\) を固定しました。ここでは発想を変え、\(y\) を固定して考えます。積 \(y=tu\) を固定すると、和 \(x=t+u\) の動く範囲が相加相乗平均で一気に見えるのが利点です。

y を固定して相加相乗平均で面積を求める手順

(1)は、点 \((x,y)\) が \(L_t\) 上にある条件 \(t^2-xt+y=0\) が実数解をもつこと、すなわち判別式 \(x^2-4y\geqq0\) から \(y\leqq \dfrac{x^2}{4}\) が出ます（本解と同じ）。

(2)は \(y\) の符号で分けます。

\(y<0\) のとき。 \(y=-a\)（\(0<a\leqq1\)）とおくと \(u=-\dfrac{a}{t}\)、\(a\leqq t\leqq1\) で \(x=t-\dfrac{a}{t}\) は単調増加。よって \(x\) は \(a-1\) から \(1-a\) までを動き、各 \(y\) での \(x\) の幅は \(2(1+y)\)。したがって

\[ S_{-}=\int_{-1}^{0}2(1+y)\,dy=1 \]

\(y>0\) のとき。 \(0<y\leqq1\)、\(y\leqq t\leqq1\) として \(x=t+\dfrac{y}{t}\)。相加相乗平均より \(x\geqq 2\sqrt{y}\)（等号は \(t=\sqrt{y}\)）、区間の端で \(x\leqq 1+y\)。連続性から途中も実現するので

\[ S_{+}=\int_{0}^{1}\bigl(1+y-2\sqrt{y}\bigr)\,dy=\Bigl[y+\dfrac{y^2}{2}-\dfrac43 y^{3/2}\Bigr]_0^1=\dfrac16 \]

合わせて \(S=S_{-}+S_{+}=1+\dfrac16=\dfrac{7}{6}\)。図3で \(y\) 軸方向に分けた \(1+\dfrac16\) が、この計算に対応します。

本解との違いと、この別解が有効な場面

本解との違いは、固定するのが \(x\) か \(y\) かという一点です。本問では \(y\) を固定するほうが積分が短くなります。積 \(tu\) が与えられて和 \(t+u\) の最小値を知りたいという形は、相加相乗平均の典型です。積を固定したときに和の範囲が素直に見える問題では、この「\(y\) を固定する」解法が強力な選択肢になります。

動く直線を放物線の接線と見るとどう解ける？

三つ目は、積分に入る前に図形で見通す別解です。\(L_t\) が放物線 \(y=\dfrac{x^2}{4}\) の接線だと見抜くと、(2)の領域は、\(y<0\) の三角形と、\(y>0\) の「放物線と2本の接線で囲まれた部分」に分かれます。

放物線の接線を使って面積を求める

\(\dfrac{x^2}{4}-(tx-t^2)=\left(t-\dfrac{x}{2}\right)^2\geqq0\) なので、\(L_t\) は点 \(\mathrm{T}_t=(2t,\ t^2)\) で放物線に接します。\(0\leqq t\leqq1\) では接点が線分上にあり、放物線の弧 \(\mathrm{BC}\) が上側の境界になります。

領域を \(y\) の符号で分けると、\(y<0\) の部分は三角形 \(\mathrm{ADE}\)（\(\mathrm{A}(-1,0),\ \mathrm{D}(0,-1),\ \mathrm{E}(1,0)\)）で面積 \(1\)。\(y>0\) の部分は、放物線の弧 \(\mathrm{BC}\) と、2本の接線上の線分 \(\mathrm{BE}\)・\(\mathrm{EC}\) で囲まれた部分です。

この部分は、三角形 \(\mathrm{BEC}\) から「放物線と線分 \(\mathrm{BC}\) で囲まれた部分」を引いて求めます。線分 \(\mathrm{BC}\) は \(y=\dfrac{x}{2}\) なので、放物線と線分 \(\mathrm{BC}\) で囲まれた部分の面積と三角形 \(\mathrm{BEC}\) の面積は

\[ \int_0^2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{4}\right)dx=\dfrac13,\qquad [\mathrm{BEC}]=\dfrac12 \]

です。よって求める部分の面積は \(\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16\)。全体では

\[ S=1+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)=1+\dfrac16=\dfrac{7}{6} \]

参考：(1)は焦点・準線でも説明できる

発展的な見方として、(1)は図形的にも説明できます。点 \(\mathrm{F}(0,1)\) と直線 \(y=-1\) を用意すると、\(L_t\) は \(\mathrm{F}\) と点 \((2t,-1)\) の垂直二等分線になります。点 \(\mathrm{X}(x,y)\) がどれかの \(L_t\) 上にある条件は、\(\mathrm{X}\) から \(\mathrm{F}\) までの距離が、\(\mathrm{X}\) から直線 \(y=-1\) までの距離以上であること、すなわち \(\sqrt{x^2+(y-1)^2}\geqq|y+1|\) です。両辺を2乗すると \(y\leqq \dfrac{x^2}{4}\) が得られます。これは「焦点 \(\mathrm{F}\)、準線 \(y=-1\) の放物線」という見方そのものです。ただし(2)の線分条件はこの距離だけでは決まらないため、面積は本解などで領域を確定します。

各解法の比較でわかる、通過領域の解法選択の原理

ここまでの3つの解法を、試験場での使い勝手で比べます。どれも面積は \(\dfrac{7}{6}\) になりますが、必要な発想と計算量が違います。

本問の美しさは、見た目の違う解法が同じ一本の式でつながっている点にあります。「放物線の接線」「2次方程式 \(t^2-xt+y=0\) の二つの解」「和と積 \((t+u,\ tu)\)」が、すべて同じ構造です。実際、2本の接線 \(L_s,\ L_t\) の交点は \((s+t,\ st)\) で、これは二つの解の和と積そのものになっています。この橋がかかっていることに気づくと、どの解法も同じ地図の上に位置づけられます。

なお、大学で学ぶ道具を使えば、面積の拡大率（ヤコビアン）で重複を除いて積分する方法、領域を三角形に分けて放物線と直線で囲まれた面積の公式（いわゆる \(\dfrac16\) 公式など）で積分を減らす方法、境界に沿った積分（グリーンの定理）で面積を出す方法など、さらに多彩な解法があります。いずれも入試の答案に必須ではありませんが、本解の発想を一般化したものとして知っておくと、通過領域の見通しがぐっと広がります。

冒頭の「本問から学べること」に戻ると、本問は次の4点を具体的に教えてくれました。第一に、動く直線が通る範囲は \(x\) を固定して2次関数の値の範囲として調べられること。第二に、直線と線分では文字の動く範囲が変わり、線分では端点に対応する条件が加わること。第三に、2次方程式が実数解をもつ条件や放物線と接線の関係が、通過範囲の境界を決めること。第四に、面積は \(x\) で積分する分け方と \(y\) で積分する分け方の2通りで検算できること。どれも、本問に限らず通過領域の多くの問題に持ち運べる考え方です。

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通過領域を安定して解くには何を練習すればいい？

最後に、本問を「一度解けた」で終わらせず、初見の通過領域でも崩れないようにするための練習手順を5つにまとめます。京大理系数学は、値を求める問題でも「答えに至る論理的な道筋」や「必要条件・十分条件への配慮」を見るように作られています（京都大学の出題意図）。通過領域はその力がそのまま試される単元です。

1. 動く直線を、通る点と傾きで式にする。 端点の座標を直接追わず、直線の式・線分内の位置・端点の軌跡を先に用意します。
2. 直線か線分かで、文字の動く範囲を分ける。 \(t\) の範囲と、線分内の位置 \(u\) の範囲を明示します。ここを曖昧にすると、直線のときの範囲を線分に流用する誤りが起きます。
3. \(x\) か \(y\) を固定して、値の範囲を調べる。 まず固定した変数に対して \(t\) の動く範囲を決め、それから2次関数の最大・最小を取ります。
4. 境界だけで満足せず、「埋まる」ことを示す。 連続性や2次方程式の解の配置で、上端と下端の間がすべて実現することを確認します。
5. 重複を除き、別の分け方で検算する。 和と積のような対称式では二重の数え上げに注意し、\(x\) で積分する分け方と \(y\) で積分する分け方の両方で面積を確かめます。

この5手順は、動く直線・線分・曲線の通過領域を問う他の問題にもそのまま移植できます。難しいのは手順を知らないことではなく、初見の問題で「\(x\) と \(y\) のどちらを固定し、どこで場合分けし、どこまで示せば十分か」を自分一人で判断し続けることです。ここでつまずくと、成績に波が出やすくなります。

もし「解法は分かるのに本番で選べない」「通過領域や軌跡で詰まる」と感じるなら、自分の答案を他者の目で点検し、解法選択の分岐を言葉にしていく練習が近道です。解けた問題でも、どの着眼点で方針を決めたのかを振り返ると、再現性が上がっていきます。

Q&A

参考文献